Problema 40

La constante de Champernowne

Es posible obtener una fracción decimal irracional al unir los números enteros positivos de la siguiente forma:

0.123456789101112131415161718192021...

Podemos ver que el 12vo dígito de la parte fraccionaria es 1.

Si d_n representa el enésimo dígito de la parte fraccionaria, encuentre el valor de la siguiente expresión:

d₁ × d₁₀ × d₁₀₀ × d₁₀₀₀ × d₁₀₀₀₀ × d₁₀₀₀₀₀ × d_1000000

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Problema 39

Triángulos rectángulos

Si p es el perímetro de un triángulo rectángulo de lados enteros {a, b, c}, existen exactamente tres soluciones para p = 120:

{20, 48, 52}, {24, 45, 51}, {30, 40, 50}

¿Cuál es el valor de p ≤ 1000 para el cual el número de soluciones es un máximo?

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Problema 38

Múltiplos pandigitales

Considere el número 192. Multiplíquelo por 1, 2 y 3:

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

Concatenando cada producto, obtenemos el número pandigital de 9 dígitos 192384576. Llamaremos a este número el producto concatenado de 192 y (1,2,3).

Lo mismo puede lograrse empezando con 9 y multiplicándolo por 1, 2, 3, 4 y 5, obteniendo 918273645, que es el producto concatenado de 9 y (1,2,3,4,5).

¿Cuál es el número pandigital de 9 dígitos más grande que puede obtenerse como el producto concatenado de un número entero y (1,2,...,n), con n > 1?

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Problema 37

Primos truncables

El número 3797 tiene una interesante propiedad. Siendo en sí mismo un número primo, es posible remover sus dígitos continuamente de izquierda a derecha, obteniendo un número primo en cada etapa: 3797, 797, 97 y 7. De manera similar, podemos proceder de derecha a izquierda: 3797, 379, 37, y 3.

Encuentre la suma de los tan sólo once números primos truncables que resisten este proceso tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.

NOTA: 2, 3, 5 y 7 no son considerados primos truncables.

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Problema 36

Palíndromos en dos bases

El número en base diez 585 = 1001001001 (en base dos) es palíndromo en ambas bases.

Encuentre la suma de todos los números, menores que un millón, que son palíndromos en base 10 y en base 2.

NOTA: El número palíndromo, en cualquier base, puede no incluir los ceros iniciales.

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Problema 35

Primos circulares

El número 197 es llamado número primo circular porque cualquier rotación de sus dígitos: 197, 971 y 719, es también un número primo.

Existen trece de estos números menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 31, 37, 71, 73, 79 y 97.

¿Cuántos números primos circulares existen menores que un millón?

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Problema 34

Factoriales de dígitos

El número 145 es bastante curioso ya que 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Encuentre la suma de todos los números que son iguales a la suma de los factoriales de sus dígitos.

NOTA: Como 1! = 1 y 2! = 2 no son sumas, no deben ser incluídos.

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Problema 33

Dígitos que se cancelan

La fracción 49/98 es bastante curiosa ya que, un poco experimentado matemático, al tratar de simplificarla, pudiera creer incorrectamente que 49/98 = 4/8, que es correcto, se obtiene cancelando los nueves.

Consideramos que las fracciones como 30/50 = 3/5 son ejemplos triviales.

Existen exactamente cuatro ejemplos no triviales de este tipo de fracciones, menores que 1 en valor, que contienen dos dígitos en el numerador y dos en el denominador.

Si el producto de estas cuatro fracciones es expresado en su forma más simple (es decir, con numerador y denominador primos entre sí), encuentre el valor del denominador.

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Problema 32

Productos pandigitales

Decimos que un número de n dígitos es un número pandigital si contiene todos los dígitos desde 1 hasta n no más de una vez; por ejemplo, el número 15234 es un número pandigital de cinco dígitos.

El producto 7254 es inusual, ya que la identidad 39 × 186 = 7254, en la que se incluyen tanto a los multiplicandos como al producto, es pandigital con nueve dígitos.

Encuentre la suma de todos los productos cuyas identidades, conteniendo multiplicandos y producto, puedan ser escritas utilizando todos los dígitos del 1 al 9 exactamente una vez.

NOTA: Algunos productos pueden obtenerse en más de una forma; asegúrese de incluirlos sólo una vez en su suma.

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Problema 31

Monedas que suman dos libras

En Inglaterra las unidades monetarias son las libras, £, y los peniques, p. Existen ocho monedas en circulación general:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) y £2 (200p)

Es posible tener £2 de la siguiente manera:

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

¿De cuántas formas distintas podemos tener £2 usando cualquier cantidad de monedas?

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