Problema 50

Suma de números primos consecutivos

El número primo 41 puede ser escrito como la suma de seis números primos consecutivos:

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

Esta es la suma con más términos que resulta en un número primo menor que cien. La suma con la mayor cantidad de números primos consecutivos que resulta en un número primo menor que mil tiene 21 términos y es igual a 953.

¿Qué número primo, menor que un millón, puede ser escrito como la suma de la mayor cantidad de números primos consecutivos?

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Problema 49

Permutaciones con números primos

La secuencia aritmética 1487, 4817, 8147, en la cual cada término es obtenido al sumar 3330 al anterior, es inusual en dos sentidos: (i) cada uno de los tres términos es primo, y (ii) cada uno de los números de cuatro dígitos es una permutación del otro.

No existen secuencias aritméticas hechas de números primos de 1, 2 ó 3 dígitos que exhiban estas propiedades, pero sí hay otra secuencia con números de cuatro dígitos en orden creciente.

¿Qué número de 12 dígitos se forma al concatenar los tres términos en esta secuencia?

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Problema 48

Potencias propias

La suma 1¹ + 2² + 3³ + ⋯ + 10¹⁰ = 10405071317.

Encuentre los últimos diez dígitos de la suma 1¹ + 2² + 3³ + ⋯ + 1000¹⁰⁰⁰.

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Problema 47

Distintos factores primos

Los primeros dos números consecutivos en tener dos factores primos distintos son:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Los primeros tres números consecutivos en tener tres factores primos distintos son:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19

Encuentre los primeros cuatro números enteros consecutivos en tener cuatro factores primos distintos cada uno. ¿Cuál es el primero de estos números?

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Problema 46

La otra conjetura de Goldbach

Fue propuesto por Christian Goldbach que todo número compuesto impar puede ser escrito como la suma de un número primo y el doble de un cuadrado.

9 = 7 + 2 × 1²

15 = 7 + 2 × 2²

21 = 3 + 2 × 3²

25 = 7 + 2 × 3²

27 = 19 + 2 × 2²

33 = 31 + 2 × 1²

Sin embargo, esta conjetura es falsa.

¿Cuál es el número compuesto impar más pequeño que no puede escribirse como la suma de un número primo y el doble de un cuadrado?

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Problema 45

Números triangulares, pentagonales y hexagonales

Los números triangulares, pentagonales y hexagonales son generados por las siguientes fórmulas:

Triangulares T_n = n(n+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...

Pentagonales P_n = n(3n-1)/2 1, 5, 12, 22, 35, ...

Hexagonales H_n = n(2n-1)    1, 6, 15, 28, 45, ...

Podemos verificar que T₂₈₅ = P₁₆₅ = H₁₄₃ = 40755.

Encuentre el siguiente número triangular que es también pentagonal y hexagonal.

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Problema 44

Números pentagonales

Los números pentagonales son generados por la fórmula P_n = n(3n - 1)/2. Los primeros diez números pentagonales son:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Podemos ver que P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈. Sin embargo, su diferencia, 70 - 22 = 48, no es pentagonal.

Encuentre el par de números pentagonales, P_j y P_k, para los cuales su suma y diferencia son números pentagonales y D = |P_k - P_j| es un mínimo. ¿Cuál es el valor de D?

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Problema 43

Sub-divisibilidad

El número 1406357289 es un número pandigital del 0 al 9 porque está formado por cada uno de los dígitos del 0 al 9 en un determinado orden, pero también presenta una interesante propiedad de divisibilidad.

Sea d₁ el primer dígito, d₂ el segundo y así sucesivamente. Podemos notar lo siguiente:

• d₂d₃d₄ = 406 es divisible por 2
• d₃d₄d₅ = 063 es divisible por 3
• d₄d₅d₆ = 635 es divisible por 5
• d₅d₆d₇ = 357 es divisible por 7
• d₆d₇d₈ = 572 es divisible por 11
• d₇d₈d₉ = 728 es divisible por 13
• d₈d₉d₁₀ = 289 es divisible por 17

Encuentre la suma de todos los números pandigitales del 0 al 9 con esta propiedad.

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Problema 42

Números triangulares codificados

El enésimo término de la secuencia de números triangulares está dado por la fórmula t_n = n(n+1)/2, por lo que los primeros diez números triangulares son:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55

Al convertir cada letra de una palabra en un número, correspondiente a su posición en el alfabeto, y sumar estos valores calculamos el valor de la palabra. Por ejemplo, el valor de la palabra SKY es 19 + 11 + 25 = 55 = t₁₀. Si el valor de la palabra es un número triangular, la llamamos palabra triangular.

¿Cuántas palabras triangulares hay en el archivo words.txt (clic derecho y "Guardar enlace como...") de 16K, que contiene alrededor de dos mil palabras comunes en inglés?

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Problema 41

Primos pandigitales

Decimos que un número de n dígitos es pandigital si hace uso de cada uno de los dígitos del 1 a n exactamente una vez. Por ejemplo, 2143 es un número pandigital de cuatro dígitos, y es también un número primo.

¿Cuál es el número primo pandigital de n dígitos más grande que existe?